Опыт применения вспомогательных задач на кружковых и факультативных занятиях по математике показывает, что школь­ники, научившись самостоятельно решать задачи с помощью вспомогательных задач, предложенных учителем, замечают, что среди задач A1 —A2 — . —An имеются и такие, которые либо уже были решены ими ранее, либо решаются способами (приемами), известными им. Это наталкивает учащихся на мысль, что при решении новой задачи следует самостоятельно отыскивать среди уже решенных ранее задач родственные данной и использовать их в качестве вспомогательных. Так воспитывается умение при самостоятельном решении задач возвращаться к своему опыту и применять его при продвижении вперед. Последнее является важным звеном умения решать задачи, умения самостоятельно приобретать новые знания.

Курсы, построенные на задачах, не содержат деления мате­риала на теоретическую и практическую части. Сами задачи — это и есть изучаемый курс. Поэтому и содержание задач, и спо­собы решения их направлены как на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений и закреп­ление навыков. Рассматриваемые определения обычно вклю­чаются в содержание задач. Возможна формулировка опреде­лений и отдельно от задач. Теоремы имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то она разбивается на последова­тельность таких задач, что решение предыдущей облегчает реше­ние последующей, а совокупность этих решений дает доказатель­ство теоремы.

Любая тема курса состоит из серии задач, которые должны быть полностью решены каждым учеником, так как только в этом случае достигается полное усвоение определенной математи­ческой теории. Однако в индивидуальные задания могут быть включены задачи подготовительные, вспомогательные или задачи для самоконтроля, которые не обязательны для всех учеников.

Перед изучением темы организуется пропедевтическая работа, ставящая своей целью подготовить учеников к самостоятель­ному активному изучению материала. В частности, здесь выявля­ются и ликвидируются пробелы в знаниях и формируются необхо­димые предварительные представления. Затем учитель в форме лекции или беседы вводит учеников в тему, намечает круг вопро­сов, подлежащих изучению, формулирует сам или подводит учащихся к самостоятельной формулировке первой проблемной задачи курса.

Основным этапом занятий является самостоятельное решение школьниками задач. Учащимся в процессе самостоятельной ра­боты разрешается пользоваться справочниками и конспектами, поскольку необходимо умственное развитие, умение самостоя­тельно решить возникающие задачи. Индивидуальная помощь учителя носит характер не подсказки, а направления на верный путь решения, для чего используются вспомогательные задачи. Расположение задач в серии по принципу нарастающей труд­ности стимулирует развитие самостоятельности учеников. Обу­чение с использованием серии вспомогательных задач строится по принципу от сложного к простому, от трудного к более лег­кому, что способствует формированию элементов творчества, стимулирует поиски учащимися способов решения, побуждает их мыслить. После решения всех задач серии проводится коллек­тивное обсуждение результатов. Полученный материал обобща­ется для последующего применения полученных знаний при ре­шении нового класса задач, делаются теоретические выводы. Всячески поощряется самостоятельность учеников в суждениях, в отстаивании собственного мнения.