По характеру учебной самостоятельной деятельности уча­щихся на внеурочных занятиях по математике целесообразно выделить четыре уровня самостоятельности.

Первый уровень — простейшая воспроизводящая самостоя­тельность. Особенно ярко проявляется этот уровень в самостоя­тельной деятельности ученика при выполнении упражнений, требующих простого воспроизведения имеющихся знаний, когда учащийся, имея правило, образец, самостоятельно решает зада­чи, упражнения на его применение.

Ученик, вышедший на первый уровень самостоятельности, но не достигший еще второго уровня, при решении задачи исполь­зует имеющийся у него образец, или правило, или метод и т. п., если же задача не соответствует образцу, то он решить ее не может. При этом он даже не предпринимает попыток как-то изменить ситуацию, а чаще всего отказывается от решения новой задачи под тем предлогом, что такие задачи еще не решались.

Первый уровень самостоятельности прослеживается в учебно-познавательной деятельности многих учеников, приступивших к внеурочным занятиям. Затем одни учащиеся быстро выходят на следующий уровень, другие задерживаются на нем определен­ное время. Большинство из них в процессе изучения материала выходят на более высокий уровень самостоятельности, чем первый.

Так как первый уровень развития самостоятельности просле­живается у многих учеников в начале занятий, то задача учи­теля заключается не в игнорировании его, полагая, что школь­ники, посещающие внеурочные занятия, уже достигли более высоких уровней, а в обеспечении перехода всех учащихся на следующие, более высокие уровни самостоятельности.

Второй уровень самостоятельности можно назвать вариативной самостоятельностью. Самостоятельность на этом уровне про­является в умении из нескольких имеющихся правил, определе­ний, образцов рассуждении и т. п. выбрать одно определенное и использовать его в процессе самостоятельного решения новой задачи. На данном уровне самостоятельности учащийся показы­вает умение производить мыслительные операции, такие, как сравнение, анализ. Анализируя условие задачи, ученик переби­рает имеющиеся в его распоряжении средства для ее решения, сравнивает их и выбирает более действенное.

Третий уровень самостоятельности — частично-поисковая са­мостоятельность. Самостоятельность ученика на этом уровне проявляется в умении из имеющихся у него правил и предписаний для решения задач определенного раздела математики формиро­вать (комбинировать) обобщенные способы для решения более широкого класса задач, в том числе и из других разделов мате­матики; в умении осуществить перенос математических методов, рассмотренных в одном разделе, на решение задач из другого раздела или из смежных учебных предметов; в стремлении найти «собственное правило», прием, способ деятельности; в поисках нескольких способов решения задачи и в выборе наиболее рацио­нального, изящного; в варьировании условия задачи и сравнении соответствующих способов решения и т. п. В названных прояв­лениях самостоятельности присутствуют элементы творчества.

Ученик на этом уровне обладает относительно большим набо­ром приемов умственной деятельности — умеет проводить срав­нение, анализ, синтез, абстрагирование и т. п. В его деятельности значительное место занимает контроль результатов и самоконт­роль. Он может самостоятельно спланировать и организовать свою учебную деятельность.

На внеурочных занятиях в X, а особенно в XI классе само­стоятельность некоторых учащихся носит творческий характер, что находит выражение в самостоятельной постановке ими проб­лемы или задачи, в составлении плана ее решения и отыскании способа решения; в постановке гипотез и их проверке; в проведе­нии собственных исследований и т. п. Поэтому целесообразно выделить высший, четвертый уровень самостоятельности — твор­ческую самостоятельность.

В соответствии с выделенными уровнями осуществляются четыре этапа учебной работы. Каждый этап связан с предыдущим и с последующим и должен обеспечивать переход школьника с одного уровня самостоятельности на следующий.

Первый этап ставит целью выход учащегося на первый уро­вень самостоятельности. На этом этапе учитель знакомит уча­щихся с элементарными формами познавательной деятельности, сообщая математические сведения, разъясняет, как можно было бы получить их самостоятельно. С этой целью он использует лекционную форму работы или рассказ, а затем организует са­мостоятельную деятельность учеников, состоящую в изучении доступного материала учебного пособия и решении задач, пред­варительно разработанных учителем в качестве примеров. Эта деятельность учителя и учащихся на занятиях соответствует аналогичной деятельности на уроках математики и довольно хорошо освещена в методической литературе.