Внеурочные занятия по математике призваны решить целый комплекс задач по углубленному математическому образованию, всестороннему развитию индивидуальных способностей школь­ников и максимальному удовлетворению их интересов и потреб­ностей. Для непрерывного обучения и самообразования особо важное значение имеют развитие самостоятельности и творче­ской активности учащихся и воспитание навыков самообучения по математике. В психолого-педагогической литературе само­стоятельность обычно понимается как способность личности к деятельности, совершаемой без вмешательства со стороны. Само­стоятельность личности не выступает как изолированное качество личности, она тесно связана с независимостью, инициативностью, активностью, настойчивостью, самокритичностью и самоконтро­лем, уверенностью в себе. Важной составной частью самостоя­тельности как черты личности школьника является познаватель­ная самостоятельность, которая трактуется как его готовность (способность и стремление) своими силами вести целенаправлен­ную познавательно-поисковую деятельность.

Самостоятельная познавательная деятельность учеников мо­жет носить как характер простого воспроизведения, так и пре­образовательный, творческий. При этом в применении к учащим­ся под творческой подразумевается такая деятельность, в резуль­тате которой самостоятельно открывается нечто новое, ориги­нальное, отражающее индивидуальные склонности, способности и индивидуальный опыт школьника. Философское определение творческой деятельности как деятельности, результатом которой является открытие нового оригинального продукта, имеющего общественную ценность, по отношению к учащемуся неприемле­мо. Хотя бывают случаи, когда деятельность учеников выходит за рамки выполнения обычных учебных заданий и носит твор­ческий характер, а ее результатом становится продукт, имеющий общественную ценность: оригинальное доказательство известной теоремы, доказательство новой теоремы, составление новой программы для электронно-вычислительных машин и т. п., как правило, в учебной деятельности творчество проявляется в субъективном плане, как открытие нового для себя, нового в своем умственном развитии, имеющего лишь субъективную но­визну, но не имеющего общественной ценности.

Творческий (продуктивный) и воспроизводящий (репродук­тивный) характер самостоятельной деятельности связаны между собой. Воспроизводящая самостоятельная деятельность служит первоначальным этапом развития самостоятельности, этапом на­копления фактов и действий по образцу, и имеет тенденцию к пе­рерастанию в творческую деятельность. В рамках воспроизводя­щей деятельности уже имеют место элементы творчества. В свою очередь, в творческой деятельности также содержатся элементы действий по образцу.

В дидактике установлено, что развитие самостоятельности и творческой активности учащихся в процессе обучения математи­ке происходит непрерывно от низшего уровня самостоятельности, воспроизводящей самостоятельности, к высшему уровню, твор­ческой самостоятельности, последовательно проходя при этом определенные уровни самостоятельности. Руководство процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую состоит в осуществлении последовательных взаимосвязанных, взаимопроникающих и обусловливающих друг друга этапов учебной работы, каждый из которых обеспечивает выход учаще­гося на соответствующий уровень самостоятельности и творче­ской активности. Задача воспитания и развития самостоятель­ности личности в обучении заключается в управлении процессом перерастания воспроизводящей самостоятельности в творческую.